Come fattore

La vista di un numero o di un'espressione accompagnata dalle istruzioni "Fattore completamente" colpisce la paura nel tuo cuore? Desideri prestare attenzione in algebra? Bene, questo istruttore ti insegnerà come fattorizzare qualsiasi numero o espressione ammissibile come Ax ^ 2 + Bx + C.

Passaggio 1: numeri di factoring

Prima di tutto, qual è un fattore?

I "fattori numerici naturali" sono l'insieme completo di numeri interi, dove se moltiplichi un numero nell'insieme per un altro nell'insieme, ottieni il numero che stai considerando.

Ad esempio, il numero 5 ha due fattori: 1 e 5. Il numero 6 ha quattro fattori: 1, 2, 3 e 6.

I "fattori interi" includono numeri negativi.

Il numero 5 in questo caso avrebbe quattro fattori: -5, -1, 1 e 5. 6 avrebbe otto fattori: -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3 e 6.

(I numeri naturali sono numeri senza frazioni, a partire da 1, 2, 3, 4, 5 ... fino all'infinito. I numeri interi sono numeri naturali, nonché le loro controparti negative e 0, oppure ...- 5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...)

I numeri di factoring con il numero naturale impostato sono semplici. Ogni numero ha almeno due fattori. Per trovare altri fattori, inizia a dividere il numero partendo da due e risalendo fino a raggiungere quel numero diviso per 2. Qualsiasi quoziente che non ha un resto significa che sia il divisore che il quoziente sono fattori di quel numero.

Supponi di dover fattorizzare il numero 9. Non puoi dividere equamente per due, quindi lo saltiamo. (Nota la soluzione, 4.5, quindi sai quando fermarti in seguito.) 9 è divisibile per 3, quindi aggiungi 3 al tuo elenco di fattori. Procedi verso l'alto fino a dividere per 5 (9 diviso per 2, arrotondato per eccesso). Si finirà con 1, 3 e 9 come un elenco di fattori.

Quando numeri di factoring nel set di numeri interi, puoi semplicemente aggiungere l'equivalente negativo delle tue soluzioni dal factoring di numeri naturali. Quindi 9 avrebbe fattori di -9, -3, -1, 1, 3 e 9.

I numeri negativi del factoring possono essere fatti solo con il factoring intero. La soluzione è la stessa che ottieni prendendo in considerazione la versione positiva del numero. -9 ha fattori di -9, -3, -1, 1, 3 e 9.

Zero è l'unico numero intero che ha una quantità infinita di fattori ed è l'unico che ha zero come fattore.

Passaggio 2: factoring del GCF da un'espressione

E no, non intendo considerare l'espressione del tuo capo mentre gli dici che hai accidentalmente inondato la stanza del caffè.

Le espressioni algebriche sono costituite da numeri, chiamati coefficienti e variabili, che possono essere elevati a una potenza. Nell'espressione x ^ 2 + 6x + 8, 1 è il coefficiente di x ^ 2, la variabile. (Se non vedi un coefficiente prima di una variabile, è 1, perché x ^ 2 viene moltiplicato per 1.) Allo stesso modo, 6 è un coefficiente di x ^ 1. (Una variabile solitaria viene elevata alla potenza di una.) 8 viene chiamata costante - non viene moltiplicata per una variabile. (Puoi visualizzarlo moltiplicato per x ^ 0 e qualsiasi numero elevato alla potenza 0 è uguale a 1).

Per fattorizzare un'espressione, devi iniziare prendendo in considerazione il GCF, o Greatest Common Factor. Elencare i fattori di ciascun componente dell'espressione. Qui siamo interessati a trovare i fattori numerici naturali.

L'espressione x ^ 2 + 6x + 8 avrebbe fattori simili a questi:

x ^ 2: 1
6x: 1, 2, 3, 6
8: 1, 2, 4, 8

Se guardi i tre elenchi, c'è solo una cosa che condividono tutti, il numero uno. Ciò significa che non esiste un coefficiente maggiore di uno da escludere.

Quindi guardi i poteri degli esponenti. 2, 1 e 0. Se vedi uno zero, l'espressione non può essere fattorizzata da una variabile.

Questa espressione è pronta per il passaggio successivo.

Ecco un esempio che ha un GCF che deve essere preso in considerazione: 2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 10x. Fattorizza ogni parte:

2x ^ 3: 1, 2
18x ^ 2: 1, 2, 3, 6, 9, 18
10x: 1, 2, 5, 10

Qui possiamo vedere che le parti hanno 1 e 2 in comune. Troviamo il numero più grande, 2.

Quindi esaminiamo i poteri degli esponenti: 3, 2 e 1. Trova il numero più piccolo che non è 0, in questo caso il numero uno. Ciò significa che x ^ 1, o semplicemente x, può essere diviso nell'espressione.

Moltiplica il numero e la variabile per ottenere 2x. Quindi dividi ogni parte dell'espressione per 2x.

2x ^ 3 / 2x = x ^ 2
18x ^ 2 / 2x = 9x
10x / 2x = 5

L'espressione con GCF fattorizzata è 2x (x ^ 2 + 9x + 5). Nota che devi inserire l'espressione fattorizzata tra parentesi e scrivere il GCF accanto ad essa.

Step 3: Binomiali di factoring

I binomi sono espressioni con solo due termini aggiunti.

2x ^ 2 - 4x è un esempio di binomio. (Puoi dire che un 4x negativo viene aggiunto a 2x2.)

Innanzitutto, scomporre il GCF, 2x. Ti rimane 2x (x - 2). Questo è quanto può andare questo binomio. Qualsiasi binomio nella forma 1x +/- n non può essere ulteriormente considerato.



Quando hai un binomio che è una variabile con un esponente uniforme, aggiunto a un numero negativo che ha una radice quadrata che è un numero naturale, viene chiamato un quadrato perfetto.

x ^ 2 - 4 ne è un esempio. Può essere espresso come il prodotto della radice quadrata della variabile più la radice quadrata della costante positiva e la radice quadrata della variabile meno la radice quadrata della costante positiva.

Eh?

Fondamentalmente, prendi la radice quadrata della variabile. Finirai con x. Quindi radice quadrata 4. Alla fine otterrai 2. Se li aggiungi insieme, otterrai x + 2. Sottrai loro e otterrai x-2. Moltiplica i due e otterrai (x + 4) (x-4). Hai appena considerato un quadrato perfetto.

Se si moltiplica (x + 2) (x-2) insieme usando FOIL, si esegue il backup con x ^ 2-4.

(FOIL: First Outer Inner Last, un modo per moltiplicare due binomi insieme. Moltiplica i primi termini dei binomi (xe x in questo caso), quindi i due esterni (x e -2), quindi i due interni (2 e x), quindi gli ultimi termini (2 e -2), quindi sommali tutti. x ^ 2 - 2x + 2x - 4 = x ^ 2 - 4.)

Questo può essere fatto di nuovo se uno dei binomi è un quadrato perfetto, come in questo caso:

x ^ 4 - 16 = (x ^ 2 + 4) (x ^ 2 - 4) = (x ^ 2 + 4) (x + 2) (x - 2).

Questo può essere ulteriormente preso in considerazione se si introducono numeri irrazionali, vedere il passaggio [9].



Come fattorizzare i binomi nella forma di (x ^ 3 + b ^ 3):

Basta collegare in (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2). Ad esempio, (x ^ 3 + 8) = (x - 2) (x ^ 2 + 2x + 4).

Come fattorizzare i binomi nella forma di (x ^ 3 - b ^ 3):

Inserire in (a + b) (a ^ 2 - ab + b2). Si noti che i primi due segni nell'espressione vengono scambiati.

(x ^ 3 - 8) = (x + 2) (x ^ 2 - 2x + 4).

Entrambi gli esempi possono essere ulteriormente presi in considerazione quando si impara a fattorizzare i trinomi nel passaggio [4].

Step 4: Factoring Trinomials

Trinomi: un'espressione con tre termini sommati. 2x ^ 2 + 6x - 8 sarà il nostro fortunato dimostratore.

Innanzitutto, estrai il GCF. Questo sarà SEMPRE il tuo primo passo per il factoring di QUALSIASI espressione.

2 (x ^ 2 + 3x - 4)

Se si ottiene una potenza di x maggiore di due dopo il factoring del GCF, passare a un altro passaggio.

Elencare i fattori interi della costante. Ne vorrai due accoppiarli in questo modo:

-4, 1
-2, 2
-1, 4

Volete trovare uno di questi che, sommato, equivale al coefficiente del secondo termine, 3. -1 + 4 = 3. Da qui, scrivete due serie di parentesi con l'interno di x:

(x) (x)

Quindi attenersi ai due termini che hanno funzionato tra parentesi.

(x - 1) (x + 4)

Non dimenticare di aggiungere nuovamente GCF.

2 (x - 1) (x + 4)

Ecco come fattore un trinomio.

Eccone un altro: 2x ^ 2 + 11x - 6.

Questa volta c'è una svolta: il coefficiente di x ^ 2 non è 1. Ciò significa che aggiungeremo un altro passaggio:

Elencare i fattori della costante, -6, nonché il coefficiente di x2, 2.

-6, 1
-3, 2
-2, 3
-1, 6

1, 2

Ora, ti consigliamo di moltiplicare ciascuno dei fattori sul lato sinistro per 1 e sulla destra per 2. Ripetere alternando 1 e 2. Si finirà con

-6, 2
-3, 4
-2, 6
-1, 12
-12, 1
-6, 2
-4, 3
-2, 6

Trova la coppia che si somma al coefficiente del medio termine, in questo caso -1 + 12 = 11. Imposta le parentesi:

(x) (x)

Inserisci i numeri originali (che avevi prima di moltiplicare per 1 e 2):

(x - 1) (x + 6)

Quindi inserisci l'uno e due come coefficienti di x in modo che quando moltiplichi i termini esterno e interno e li sommi, otterrai 11.

(2x - 1) (x + 6)

Se controlli il tuo lavoro compilandolo, finirai con 2x ^ 2 + 11x - 6, l'espressione con cui hai iniziato. Congratulazioni!

Step 5: Factoring Trinomials per sostituzione

9x ^ 4 + 45x ^ 2 + 14.

Non pensi che questa espressione sarebbe più facile da considerare con numeri più piccoli e potenze variabili?

Puoi sostituire un numero inferiore e una potenza variabile in questo modo:

Impostare n = 3x ^ 2 (il GCF delle potenze variabili e la radice quadrata del GCF dei coefficienti di numeri moltiplicati per una potenza di x). Quindi sostituiscilo dividendo i termini nell'espressione originale per n.

n ^ 2 + 15n + 14.

Ora puoi facilmente fattorizzare.

(n + 14) (n + 1).

Inserisci 3x ^ 2 nell'espressione in cui si trovano le n.

(3x ^ 2 + 14) (3x ^ 2 + 1).

Passaggio 6: l'equazione quadratica

Se nessuna delle combinazioni che ottieni (dal passaggio 4) si somma correttamente, dovrai usare l'equazione quadratica.

(-b +/- sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / 2a

(sqrt (#) = radice quadrata di #)

Dove un trinomio ha la forma ax ^ 2 + bx + c.

Quindi, se volessi usare la formula quadratica con 1x ^ 2 + 3x + 2, ti collegheresti così:

(-3 +/- sqrt (3 ^ 2 - 4 (-2) (1)) / 2.

Questo semplifica fino a (-3 +/- sqrt 17) / 2. I fattori di 1x ^ 2 + 3x + 2 sarebbero (x - ((-3 + sqrt 17) / 2)) (x - ((-3 - sqrt 17) / 2)). (Metti la risposta a destra di una "x -". Maggiori informazioni sul perché funziona, nel passaggio [8].)

Step 7: Factoring Polinomi per raggruppamento

A volte otterrai quattro o più termini, che assomigliano a questo:

2x ^ 2 + 6x ^ 3 + 5x ^ 7 + 15x ^ 8

Non esiste un coefficiente comune e il factoring fuori x ^ 2 non aiuta molto. Qui è dove useresti il ​​raggruppamento per fattore.

Raggruppare significa prendere in considerazione il GCF di soli due termini dell'espressione. Puoi vedere che 2x ^ 2 + 6x ^ 3 e 5x ^ 7 + 15x ^ 8 possono entrambi essere eliminati da un GCF. Fare così.

2x ^ 2 (1 + 3x) + 5x ^ 7 (1 + 3x)

Si noti che esiste un fattore comune, 1 + 3x. Questa espressione può essere riformulata in (2x ^ 2 + 5x ^ 7) (1 + 3x). C'è la tua risposta

Si noti che (2x ^ 2 + 5x ^ 7) (1 + 3x) può essere ulteriormente fattorizzato prendendo in considerazione un x ^ 2 dal primo binomio: x ^ 2 (2 + 5x ^ 5) (1 + 3x).

Step 8: Factoring Polynomials by Synthetic Division

A volte otterrai polinomi bestiali che sembrano non avere speranza.

3x ^ 3 + 8x ^ 2 - 9x + 2 è un esempio. Non è possibile utilizzare il raggruppamento per fattorizzare un GCF in modo da produrre un fattore comune.

Per spiegare come funziona, devi sapere che quando risolvi un'equazione tramite il factoring, devi impostare la cosa fattorizzata uguale a 0 e scoprire cosa X è uguale in modo che sia uguale a zero. Ad esempio, 0 = (x - 2) (x + 1). Le soluzioni sono 2 e -1.

Se un polinomio ha coefficienti interi, ogni zero, o soluzione, ha la forma P / Q, dove P = un fattore del termine costante e Q = un fattore del coefficiente principale.

Fondamentalmente, se si elencano tutti i fattori della costante e li si divide per i fattori del coefficiente principale (il coefficiente accanto alla variabile con la massima potenza) in ogni combinazione, si otterrà un elenco di possibili soluzioni razionali. In che modo ti aiuta a tener conto? Se ottieni 2 come soluzione, puoi lavorare all'indietro e dire che uno dei fattori dell'equazione era (x - 2).

Quindi, tornando all'esempio:

Fattori di 2: +/- 1, +/- 2 (è necessario includere i negativi)
Fattori di 3: +/- 1, +/- 3

P / Q: +/- 1, +/- 1/3, +/- 2, +/- 2/3

Una volta che hai la tua lista, userai qualcosa chiamato divisione sintetica per vedere quali di questi P / Q sono in realtà soluzioni.

La divisione sintetica è un modo di dividere i polinomi da un binomio della forma xk. Non ho intenzione di spiegare come funziona, ma mostrerò solo come usarlo per il factoring.

Innanzitutto, metti uno dei tuoi P / Q in una piccola scatola o insieme di parentesi, quindi elenca i coefficienti e la costante in una riga accanto ad esso. Se il polinomio salta un potere (x ^ 2 + 2), allora devi aggiungere uno 0 per dove x1 avrebbe dovuto essere.

(Espressione: 3x ^ 3 + 8x ^ 2 - 9x + 2)

(Ignora gli asterischi, sono usati come segnaposto. Meglio ancora, vedi la prima foto.)

(1) 3 8-9 2



Lascia uno spazio vuoto, disegna una linea, quindi rilascia il primo termine, 3, verso il basso.

(1) 3 8-9 2


*** 3

Quindi moltiplicalo per il numero nella casella e mettilo sotto il termine successivo.

(1) 3 8-9 2
****** 3

*** 3

Aggiungi 8 + 3

(1) 3 8-9 2
****** 3

*** 3 11

Moltiplicare.

(1) 3 8-9 2
****** 3 11

*** 3 11

Inserisci.

(1) 3 8-9 2
****** 3 11

*** 3 11 2

Moltiplicare.

(1) 3 8-9 2
****** 3 11 2

*** 3 11 2

Inserisci.

(1) 3 8-9 2
****** 3 11 2

*** 3 11 2 4

Quella stringa di numeri, 3, 11, 2, 4, ti dà un'espressione con un grado in meno (se l'esponente più alto nell'espressione originale è 3, l'esponente più alto nel quoziente sarà un 2) e un resto.

(Espressione originale: 3x ^ 3 + 8x ^ 2 - 9x + 2)

Quoziente: 3x ^ 2 + 11x + 2 Resto 4

Se ottieni un resto, il numero nella casella che hai provato non è una soluzione per l'equazione. Cancella quel numero dall'elenco e riprova con un altro numero. È praticamente indovinare e controllare.

Alla fine proverai 1/3 e scoprirai che si divide in modo pulito. Ti ritroverai con:

(x - 1/3) (3x ^ 2 + 9x - 6).

Ora che hai un trinomio di potere due, puoi tornare indietro e considerarlo. Non dimenticare di eliminare prima il GCF! Ti rimane con (x - 1/3) (3) (1x ^ 2 + 3x + 2). Fattorizza il trinomio tramite l'equazione quadratica (questa equazione è stata usata come esempio nel passaggio [6], quindi fai riferimento se necessario). Si finirà con (3) (x - 1/3) (x - ((-3 + sqrt 17) / 2)) (x - ((-3 - sqrt 17) / 2)). Molto brutto, ma è così che lo fai.

Step 9: Factoring ulteriormente: irrazionali e immaginari

Il numero di binomi senza che una radice perfetta venga sottratta da una variabile quadrata come (x ^ 2 - 2) può essere ulteriormente fattorizzato usando le radici quadrate. (x + sqrt (2)) (x - sqrt (2)). Ciò porta all'insieme irrazionale di numeri.

I binomi con un numero aggiunto a una variabile quadrata come (x ^ 2 + 1) possono essere ulteriormente fattorizzati usando numeri immaginari. "i" sta per la radice quadrata di quella negativa. Quindi (x ^ 2 + 1) può essere considerato in (x + i) (x - i). Questo porta nell'insieme immaginario di numeri.

Step 10: Huzzah!

Ora sai come fattorizzare qualsiasi numero o espressione che potresti mai incontrare. Buon per te!

Ci sono anche programmi là fuori che possono farlo per te. Se google "polyroot" otterrai collegamenti ad alcuni programmi per il tuo computer. I calcolatori grafici HP 39 / 40gs hanno la funzione polyroot integrata. Se si dispone di un calcolatore grafico TI-89, ha anche una funzione di factoring. I calcolatori grafici TI del modello precedente non lo hanno incorporato, ma hanno programmi di factoring. Google "ti quadratic solver" per i programmi che puoi trasferire al tuo calcolatore grafico TI.

Puoi anche trovare soluzioni reali alle equazioni quadratiche rappresentandole graficamente e usando la funzione 'zero' per calcolare dove il grafico interseca l'asse x. È quindi possibile incollare quel numero accanto a una "x -".

Dichiarazione di non responsabilità: la maggior parte delle classi matematiche o non consente di calcolare calcolatori in grado di fattorizzare o di liberare memoria (insieme ai programmi) da calcolatori programmabili. Inoltre, se qualche soluzione ha una radice non naturale, otterrai una lunga serie di decimali che non è adatta come risposta. Basta imparare a farlo a mano.

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